Dall’ordine al caos
In molti casi di grande interesse si ha a che fare con sistemi dinamici che, per certi valori di uno o più parametri hanno un comportamento regolare e prevedibile, mentre per altri valori divengono caotici. Questi parametri possono, ad esempio, descrivere l’interazione tra il sistema e l’ambiente esterno.
Ad esempio, il moto di un satellite intorno ad un pianeta è del tutto prevedibile, ma se esso è perturbato dall’attrazione di altri corpi, ad esempio da un altro satellite, può diventare caotico.
Il modo classico per ottenere ciò è prendere un sistema dinamico che abbia un comportamento regolare e aggiungere alle leggi del moto un termine perturbativo, la cui intensità possa essere fatta variare a piacere; quando questo termine è piccolo le orbite di fase regolari sono solo un po’ deformate, ma al suo aumentare l’ordine è distrutto e le orbite cominciano a spargersi caoticamente in tutto lo spazio delle fasi.
Ancora una volta prendiamo come esempio una mappa, lo standard map.
Y’ = Y + K sen(X)
X’ = X + Y’
(Le orbite vengono tutte ricondotte entro il quadrato di lato 2pigreco, quando escono da una parte rientrano dall’altra)
Il parametro è K. Se vale 0 la mappa è una semplicissima traslazione e le orbite sono molto banali, delle rette.
Questa mappa è del tutto regolare e prevedibile. (Nell’animazione sono presentate alcune orbite che partono da condizioni iniziali differenti, ognuna con una diversa sfumatura di blu.)
Ma se si danno a K valori via via più grandi, ad esempio vicini ad 1 (puoi farlo, inserendo il valore nell’apposita casella!) si osserva che le orbite si deformano e divengono sempre più complesse, assumendo perfino, in alcune zone, un aspetto del tutto irregolare.
Se si dà a K un valore molto grande, come 10, le orbite non hanno più alcuna forma riconoscibile, ma sono sparpagliate in tutto lo spazio delle fasi. Il sistema è ora del tutto caotico, il suo comportamento imprevedibile.
Puoi ora passare a studiare le stranezze dei sistemi dissipativi.
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