I frattali

I frattali sono probabilmente gli enti geometrici più curiosi e ricchi di sorprese che si conoscano. Del tutto ignorati fino a pochi decenni fa, quando vennero scoperti grazie all’uso dei calcolatori, essi sembrano rispecchiare nello spazio la complessità del comportamento dei sistemi caotici nel tempo. Benché non esistano in natura insiemi frattali in senso stretto, come non esistono rette o piani geometrici, alcuni oggetti naturali posseggono una struttura che approssima quella di tali insiemi.
Prendiamo, ad esempio, una pianta; se ingrandiamo un singolo ramo, notiamo che esso ha una forma simile a quella dell’intera pianta; se prendiamo un rametto di questo ramo, e poi una foglia del rametto con le sue venature, ci accorgiamo che ogni volta la parte presenta una certa somiglianza con l’intero. Opportunamente stilizzati, le venature della foglia, il ramo, l’albero, hanno più o meno la stessa forma. Un altro esempio ci è fornito dai fiordi, ognuno dei quali presenta delle insenature simili a loro volta a piccoli fiordi.
Questa proprietà di somiglianza della parte col tutto caratterizza gli insiemi frattali: essa è anche chiamata invarianza di scala, perchè l’insieme risulta essenzialmente invariante ad ogni ingrandimento, cioè a qualunque scala è osservato. Non è una proprietà banale: infatti, ad esempio, un pezzo di circonferenza non è più una circonferenza. In effetti, a parte casi banali, tutte le figure note dalla geometria elementare non hanno questa proprietà.
Naturalmente, negli oggetti reali l’invarianza di scala deve arrestarsi a un certo punto; solo in oggetti matematici può sussistere a tutte le scale.
La proprietà dell’invarianza di scala ha un significato estremamente importante: l’informazione per costruire l’intero insieme è tutta contenuta in una qualunque sua parte, per quanto piccola essa sia. Ciò non accade, ad esempio, per un pezzo di quadrato, che non ci permette di ricostruire l’intero quadrato.
I frattali devono il loro nome al fatto di trovarsi "sospesi" tra le dimensioni degli oggetti geometrici ordinari. Noi sappiamo che un punto ha dimensione 0, un linea ha dimensione 1, il piano 2, lo spazio 3. I frattali hanno dimensione frazionaria, ad esempio quelli sul piano possono averne una compresa tra 0 e 2: sono cioè un po’ più di una linea, ma un po’ meno di una superficie, ed hanno area zero.
Rendere rigoroso questo concetto ha richiesto una nuova definizione di dimensione. Supponiamo che per ricoprire una certa figura del piano occorrano N quadretti di lato L, con L molto piccolo; la dimensione di questa figura è allora:

-Log(N)/Log(L)

(Più esattamente bisognerebbe passare al limite per L tendente a 0).
Le figure della geometria elementare possono essere generate sul piano cartesiano da un’equazione, come è noto dalla geometria analitica. Al contrario, per generare un frattale è necessaria una procedura che deve essere iterata all’infinito, cioè in sostanza è il risultato dell’evoluzione di un sistema dinamico.
Non è difficile costruire un insieme frattale. Prendiamo ad esempio un quadrato, immaginiamolo diviso in nove quadrati più piccoli uguali, come nel tris, e togliamo il quadratino centrale. Facciamo la stessa cosa per gli otto quadratini restanti, poi per i 64 restanti e così via all’infinito...ciò che resta è una specie di finissimo merletto, ed è un insieme frattale.
Puoi vedere in questa animazione l’insieme costituirsi sotto i tuoi occhi, aumentando di volta in volta i gradi di raffinamento. La proprietà di somiglianza del tutto con la parte è qui assolutamente evidente.

Data la risoluzione finita dello schermo è impossibile proseguire all’infinito, non si vedrebbe più nulla!
La dimensione di questo frattale è circa 1,892.

L’insieme di Mandelbrot
L’insieme di Mandelbrot è un insieme del piano complesso dalla frontiera frattale, definito dalla mappa (complessa):
Z’ = Z2 + Zo
dove Zo rappresenta il punto di partenza di un’orbita.
Alcune orbite, che partono vicino allo zero, cioè l’origine del piano complesso, rimangono sempre confinate nei suoi paraggi. L’insieme di Mandelbrot è appunto costituito dai punti di partenza di queste orbite localizzate. Altre invece se ne vanno all’infinito, e i loro punti di partenza non fanno parte dell’insieme.
L’animazione che trovi qui consente di evidenziare tale insieme. I punti dell’insieme di Mandelbrot sono in nero, gli altri sono colorati. I differenti colori indicano differenti velocità di allontanamento all’infinito. Chiaramente, più un punto è lontano dall’insieme delle orbite localizzate, più velocemente va via all’infinito.
La figura che si delinea sembra una superficie abbastanza "normale", tranne per la frontiera piuttosto "sfrangiata". Se però ingrandiamo un dettaglio di questa frontiera (puoi farlo puntando il mouse sulla zona che vuoi ingrandire e facendo click: poi riavvia l’animazione) ci accorgiamo che essa rivela una struttura estremamente complessa, fatta di "isole" in scale sempre più ridotte e unite da "canaletti" all corpo principale dell’insieme. Successivi ingrandimenti riveleranno l’invarianza di scala, cioè il ripetersi delle stesse strutture a tutte le scale, tipica dei frattali.

Attenzione! Se continui l’ingrandimento (ogni volta si riduce di dieci volte la scala) noterai a un certo punto una notevole perdita di risoluzione; questo è dovuto al raggiungimento dei limiti di precisione del computer. Anche se l’insieme di Mandelbrot, essendo un oggetto matematico, rivelerebbe strutture di piccolezza infinita, il calcolatore, come oggetto fisico, non conosce l’infinito.