Il caos deterministico
Determinismo significa predicibilità del moto, che sia cioè possibile, a partire dalle condizioni iniziali di un sistema, ricavare con dei calcoli le sue condizioni, cioè il suo stato dopo un tempo qualunque. Per ottenere ciò bisogna fare due cose:
1) determinare lo stato iniziale.
2) risolvere le equazioni del moto, per calcolare lo stato al tempo desiderato.
Si richiede, ovviamente, che lo stato finale calcolato coincida, entro il margine degli errori di misura, con quello osservato in realtà; e che tutto ciò si possa fare effettivamente, non solo sulla carta.
In pratica, però, lo stato iniziale può essere determinato solo entro certi limiti, lasciando spazio ad un inevitabile errore, quindi anche il calcolo dello stato finale sarà affetto da un errore per lo meno analogo. Il problema è: quanto è grande questo errore? Perchè la predizione abbia un qualche valore è necessario che questo errore non diventi troppo grande, ovvero che o rimanga costante o che al più aumenti, a partire dall’istante iniziale, in modo proporzionale col tempo. Ciò equivale a richiedere che due orbite di fase inizialmente vicine restino sempre vicine, o al più si separino in modo proporzionale al tempo.
Puoi vedere un esempio di ciò nell’animazione, in cui abbiamo due pendoli identici che vengono fatti partire in condizioni iniziali quasi identiche. Noterai che essi continuano ad oscillare pressoché parallelamente. Ciò significa che un piccolo errore nella valutazione dello stato iniziale non porterà alcun significativo errore nel calcolo del vero stato del sistema, anche dopo tempi molto lunghi.
Per molto tempo si è implicitamente assunto che tutti i sistemi fisici si comportassero allo stesso modo; ma tra la fine del XIX e l’inizio del XX secolo, prima Maxwell e poi Poincaré notarono che in certi casi può capitare che due stati, inizialmente molto vicini, evolvano in modo del tutto diverso, ovvero che le orbite di fase si separino non proporzionalmente al tempo, ma esponenzialmente.
Ciò significa che, in questi casi, anche un errore piccolissimo nella misura dello stato iniziale cresce in modo estremamente rapido, fino a diventare tanto grande da rendere del tutto illusoria una qualunque predizione. Immaginiamo, infatti, che l’errore diventi grande quanto l’intera regione del piano delle fasi accessibile al sistema; l’unica cosa che potremo dire è che lo stato vero potrà trovarsi in un punto qualunque del piano delle fasi. Ma questo è esattamente ciò che possiamo prevedere sul lancio di una moneta o su una puntata alla roulette!
Vediamo un esempio concreto. Prendiamo un biliardo con cinque palline, e supponiamo che queste si muovano senza attrito e senza acquistare effetti rotatori, rimbalzando tra di loro e sulle pareti. Prepariamo due di questi biliardi, del tutto identici, in condizioni iniziali quasi identiche (solo la velocità di una delle palline è diversa, per meno di un centomillesimo) e seguiamone l’evoluzione.
Osserviamo che, per un po’, i due sistemi sembrano evolvere allo stesso modo; ma dopo qualche urto tra le palline, e quasi all’improvviso...si ha una completa rottura dell’ "accordo", e l’evoluzione di uno dei due biliardi non ha già più nulla a che vedere con l’altra. Questo dà un’idea di quali improvvisi e drammatici effetti possa avere la "divergenza esponenziale" delle orbite.
E’ evidente che, in presenza di divergenza esponenziale, un sistema deterministico si comporta, almeno per quanto riguarda la sua evoluzione a lungo termine, come un sistema dominato da una completa casualità; si parla in tali casi di caos deterministico. Il biliardo con più di una palla è il classico esempio di sistema caotico, ed è anche il più complesso tra quelli per i quali la completa caoticità è stata dimostrata matematicamente. (Esso costiutisce anche un modello in due dimensioni di una gas, ed è detto gas di sfere rigide).
I sistemi fisici isolati sono solo un’astrazione; in genere essi risentono di un’influenza da parte di ciò che li circonda. Ad esempio, l’orbita della Terra non dipende solo dall’attrazione del sole, ma è in piccola misura perturbata dall’attrazione degli altri corpi del sistema solare e delle stelle più vicine.
Un sistema come il pendolo risentirà poco delle influenze esterne, infatti una piccola deviazione dal suo stato in un certo istante provoca, come abbiamo visto, una deviazione altrettanto piccola nella sua evoluzione. In un sistema caotico come il biliardo, invece, basterà anche una piccolissima perturbazione nello stato del sistema per modificarne in modo completo e imprevedibile l’evoluzione. Nel caso del biliardo, ad esempio, è stato calcolato che basta la perturbazione prodotta dalla presenza di un elettrone ai limiti dell’universo osservabile per fare in modo che, dopo circa 50 urti, il moto sia completamente diverso da quello che si sarebbe osservato in assenza di perturbazione!
Prima dello sviluppo dei calcolatori quelle di Maxwell e Poincaré rimasero solo delle congetture e non ebbero molto seguito. In seguito, grazie allo sviluppo di potenti sistemi di calcolo lo studio dei sistemi dinamici ebbe nuovo impulso, e si scoprì un gran numero di sistemi che si incontrano nelle più svariate discipline, dalla meccanica celeste all’economia, dalla fisica dei fluidi all’economia, possono dar luogo a un comportamento caotico.
Per riassumere: un sistema caotico si caratterizza per il fatto che la sua evoluzione non è prevedibile, come il lancio di un dado o di una moneta. L’evoluzione di un sistema dinamico è regolata da leggi matematiche, a partire dallo stato iniziale, e quindi a rigore non può essere casuale; ma, se un qualunque errore nella valutazione dello stato iniziale, per quanto piccolo, diviene rapidamente molto grande, risulta in realtà impossibile fare una qualunque previsione sull’evoluzione a lungo termine del sistema, e il suo comportamento risulterà, di fatto, indistinguibile da uno del tutto casuale.
Possiamo dire quindi che un sistema caotico è un sistema regolato da leggi matematiche il cui comportamento a lungo termine risulta imprevedibile e casuale a causa della sensibilità alle condizioni iniziali.
Ora puoi vedere altri esempi di sistemi caotici.
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