Gli attrattori strani



I sistemi conservativi sono, spesso, soltanto un’idealizzazione. Più di frequente si ha a che fare con sistemi dissipativi, nei quali l’energia, a causa dell’attrito, viene dispersa in calore.
Non è detto che l’attrito distrugga il moto di un sistema. Pensiamo, ad esempio, al corso di un torrente: l’attrito sul fondale e la resistenza idrodinamica distruggono l’energia cinetica, ma essa è continuamente ricreata dall’energia potenziale della forza peso.
I sistemi dissipativi sono caratterizzati dal fatto che le orbite di fase che partono da condizioni iniziali anche molto diverse finiscono per giungere tutte in un determinato insieme di stati di superficie nulla detto attrattore.
Consideriamo, ad esempio, un pendolo che oscilli nell’aria: come ben sappiamo, il suo moto si smorza progressivamente, con oscillazioni sempre più piccole, fino a esaurirsi nella quiete. L’orbita di fase è una spirale che termina nel punto velocità=0, spostamento=0, che è il punto di equilibrio del pendolo. Tutte le orbite finiscono in questo punto; esso è dunque l’attrattore del sistema.
Non tutti gli attrattori sono costituiti da semplici punti; possiamo avere delle curve regolari, dette cicli limite, oppure, nel caso dei sistemi caotici, delle strutture ancor più insolite detti attrattori strani.
Ancora una volta ricorriamo all’iterazione di una mappa per avere un modello semplice di sistema dinamico che presenta un attrattore strano, il cosiddetto attrattore di Henon. La mappa è regolata dalla seguente legge.

X’ = 1 + Y - 1,4 X2
Y’ = 0,3 X

(I parametri 1,4 e 0,3 possono anche essere cambiati)
Prendiamo un certo numero di orbite ( ) con condizioni iniziali diverse, e seguiamo le iterazioni della mappa. Ad ogni iterazione quella precedente è cancellata, per poterle seguire meglio.
Osserviamo che, al passare del "tempo", tutti i punti sembrano disporsi su una struttura che assomiglia a un filamento più volte ripiegato su se stesso, l’attrattore appunto.
Dopo qualche iterazione smettiamo di ricancellare lo schermo ogni volta, in modo che questo curioso insieme si delinei meglio. Notiamo che le orbite sono imprigionate su di esso, e continuerebbero a vagarvi per l’eternità.
Abbiamo detto che tutte le orbite del piano delle fasi finiscono sull’attrattore. In effetti ciò non è vero, perchè quelle che si trovano abbastanza lontano sfuggono e vanno all’infinito. L’insieme di tutte le condizioni iniziali che vanno a finire sull’attrattore costituisce il suo bacino di attrazione.

La mappa di Henon dà luogo ad un sistema caotico. Per provarlo, prendiamo delle condizioni iniziali molto vicine (per meno di un milionesimo) e iteriamo la mappa; mentre esse vengono attirate verso l’attrattore si separano rapidamente, come possiamo vedere, e si disperdono in modo del tutto irregolare sull’attrattore, dove continuano a muoversi in modo del tutto imprevedibile. La divergenza delle orbite è, come sappiamo, il marchio inconfondibile del caos.

Ma, a parte la forma un po’ insolita, perchè questo insieme si merita l’appellativo di "strano"? Anzitutto diciamo che un insieme limitato, di superficie nulla, sul quale devono svolgersi un’infinità di moti (tanti quanti le condizioni iniziali nel bacino di attrazione) che non si incontrano mai (la mappa è biunivoca) e, soprattutto, irregolari e caotici, non può essere una linea semplice e regolare. In effetti, anche se sembra una linea un po’ "attorcigliata", un attrattore strano è qualcosa di ben diverso; se lo ingrandissimo, potremmo vedere che ogni filamento si risolve in vari filamenti, e ognuno di questi in altri filamenti e così via, rivelando una struttura infinitamente complessa.

Gli attrattori strani fanno parte di una classe di insiemi detti frattali, la cui caratteristica essenziale è di avere una dimensione frazionaria (una linea ha una dimensione, il piano due dimensioni; l’attrattore di Henon ha dimensione compresa tra 1 e 2), ma questa è una nozione un po’ difficile da precisare dal punto di vista matematico. Una delle proprietà più curiose dei frattali è la loro invarianza di scala, ovvero il mostrare una struttura essenzialmente uguale a qualunque ingrandimento.

La presenza di attrattori strani frattali è una particolarità dei sistemi caotici dissipativi, ed ha un’importanza fondamentale nello studio della turbolenza nei fluidi. Il moto turbolento si osserva molto bene nelle acque tumultuose di un torrente di montagna, oppure nell’aria quando c’è forte vento; non è difficile immaginare che il capriccioso turbinare del vento o il disordinato vorticare dell’acqua nascondano fenomeni caotici. E’ senza dubbio una cosa sorprendente che un moto irregolare e casuale possa originare degli oggetti così belli e delicati come gli attrattori strani.

Il secondo modello di sistema dissipativo caotico è quello di Lorenz, nato appunto dallo studio dell’insorgere della turbolenza in un fluido.
Non presentiamo le equazioni del modello, perchè un po’ complicate: ci basta sapere che esse generano un moto, e quindi delle orbite di fase a partire da una certa condizione iniziale. L’unica differenza con gli altri esempi visti è che le variabili di fase sono tre, quindi in effetti noi vediamo un’orbita tridimensionale proiettata, ovvero "schiacciata" su un piano.
Questo sistema fisico presenta un attrattore strano, detto attrattore di Lorenz, che sembra avere la forma di una striscia di carta attorcigliata (come il nastro di Moebius) ma che in effetti non è "solida", ma piuttosto formata da tantissimi filamenti, cioè con la tipica struttura infinitamente complessa dei frattali.
Vedrai delinearsi col tempo questo insieme. Tieni conto del fatto che le orbite finiscono solo dopo un certo tempo sull’attrattore, quindi il primo tratto non ne fa parte.

Prendiamo, come al solito, due condizioni iniziali molto vicine tra loro e seguiamo le orbite uscenti da esse, una in rosso e l’altra in nero. Osserviamo che queste per un po’ di tempo sembrano viaggiare quasi di conserva, ma poi prendono strade del tutto diverse. Naturalmente spesso sembrano reincontrarsi, ma ciò è dovuto al fatto che l’attrattore ha volume nullo, quindi non c’è molto spazio dove andare.
Hai forse osservato che il momento "decisivo" della separazione è quando le due orbite, inizialmente vicine, si dirigono ognuna verso uno dei due "cappi" di cui sembra fatto l’attrattore. Ciò non sarebbe evidentemente possibile se esso fosse costituito da una curva semplice e regolare; infatti le due orbite, non potendo intersecarsi (questa è una proprietà fondamentale di tutti i sistemi dinamici) sarebbero costrette a restare per sempre vicine, ognuna bloccata dalla presenza dell’altra.
Grazie alla struttura incredibilemente intricata dei frattali, invece, una delle orbite può trovare la via per allontanarsi dall’altra senza intersecarla, passando su uno qualunque dei filamenti di cui è fatto l’attrattore.

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